Booleová algebra :

Booleova algebra je vetvou matematiky pomenovanou podľa  anglického logika a matematika Georga Boolea, ktorý ako prvý  publikoval práce z tejto oblasti.

Booleova algebra nie je algebra čísel, s ktorou sa stretávame v matematike. Je to algebra logických stavov. Vzhľadom ku klasickej algebre je preto inak definovaná, napríklad v nej vôbec nenájdeme operácie odčítania a delenia (tieto funkcie v algebre stavov neexistujú).

 

Základné funkcie Booleovej algebry sú :

1. logický súčet OR

2. logický súčin AND

3. negácia NOT

 

Medzi základné pravidlá Booleovej algebry patria :

• A plus 0 je vždy A, ak je A=1 je to 1, ak je A=0 je to 0.
• A krát 0 je vždy 0.
• A plus 1 je vždy 1 bez ohľadu, akú logickú hodnotu má A.
• A krát 1 je vždy A, ak je A=1je to 1, ak A=0 je to 0…

 

V Booleovej algebre pre logický súčet a logický súčin platia tieto zákony :

 

Vlastnosťou  Booleovej algebry je aj dualita. Ľubovolnú logickú funkciu možno vyjadriť vhodným postupom aj v inom – duálnom tvare. O tejto vlastnosti pojednáva  De Morganov zákon, ktorý hovorí že logickú funkciu NAND je možné vyjadriť v inom – duálnom tvare pomocou negácie a funkcie OR a opačne, logickú funkciu NOR je možné vyjadriť v inom – duálnom tvare pomocou negácie a logickej funkcie AND.

Dualita logických hradiel AND a OR.

Shannov teorém zobecňuje De Morganov zákon a hovorí, že každá logická funkcia, ktorá obsahuje logické premenná A, B, C …, medzi ktorými sú operácie logického sčítania OR a logického násobenia AND sa dá napísať v inom – duálnom tvare ako funkcia, ktorá obsahuje pôvodné logické premenné A, B, C … , ale negované a logické operácie OR a AND sa medzi sebou vymenia.

Kanonický tvar tohoto teorému môžeme napísať ako :

Napríklad pre logický výraz  ( A + C ) . ( B + C ) = Y môžeme podľa  Shannovho teorému napísať :

s použitím základných pravidiel Booleovej algebry môžeme ďalej písať :

ak na túto logický rovnicu aplikujeme Shannov teorém a s prihliadnutím na zákon druhej negácie, dostaneme :

 

Základné pravidlá a vlastnosť duality Booleovej algebry sa používajú a majú veľký význam pri navrhovaní a minimalizácií zložitejších logických funkcií a pri ich realizácií pomocou základných logických hradiel a integrovaných logických obvodov.

Ak realizovaná logická funkcia obsahuje prevážne logické operácie NAND, NOT a len jednu logickú operáciu OR a ak ostanú v niekoľkých púzdrach integrovaných obvodov voľné hradlá NAND a NOT, je zbytočné pridať kvôli jednej funkcii OR ďalšie púzdro integrovaného obvodu. Funkcia NOR sa dá zrealizovať   (s prihlidanutím na duálnu vlastnosť Booleovej algebry)  pomocou voľných hradiel NAND a NOT.